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24年度公立入試問題解説(数学-18)

今日はうちの息子(3歳)が、幼稚園の入園式でした。
我が家でも、今日から新学期なのだと身の引き締まる思いでした。

それでは入試問題解説に入ります。今回は平面図形の証明問題です。

(問)
図10において、3点A、B、Cは円Oの円周上にあり、△ABCは正三角形である。AC上に点Dをとり、BDの延長と円Oとの交点をEとする。点Aを通りBCに平行な直線とCEの延長との交点をFとする。

zu_10.jpg

(1)AD=AFであることを証明しなさい。

【POINT】三角形の合同条件
2つの三角形が合同となるためには、以下のどれかの条件にあてはまっていなければいけません。
(1)対応する3辺の長さがそれぞれ等しい。
(2)対応する2辺の長さとそのはさむ角の大きさが等しい。
(3)対応する1辺の長さとその両端の角の大きさが等しい。

【証明の道すじ】
証明問題というと、「いったい何を証明したらよいのか?」、「どうやって証明を書いたら良いのか?」など、色々考えてしまい、何も書けないという人が多いのではないでしょうか?

(1)何を証明すればよいのか?

今回の問題では、図10のAD=AFという、辺の長さが等しいことを証明しなくてはいけません。

「2つの三角形が合同なら、対応する辺の長さは等しくなる」
と考え、辺ADを含む三角形と辺AFを含む三角形が合同であることを証明すれば、AD=AFも証明されます。

そして、図10を見ると
辺ADを含む三角形の一つとして、△BADがあります。
辺AFを含む三角形の一つとして、△CAFがあります。
よって
△BAD≡△CAFを証明すれば、AD=AFが証明されます。

(2)どうやって証明を書いたらよいの?

まず証明を書く準備として、問題を読んで、長さの等しい辺、大きさの等しい角を見つけ、図に印をつけていきます。

証明に書く内容は、

1.証明したい2つの三角形を示す
(例)△BADと△CAFにおいて、など

2.等しい辺や角を式で表し、その理由と一緒に書く。
(例)AF//BCで錯角は等しいので、∠ACB=∠CAF、など

3.合同条件を書く。
4.結論を書く。

【証明】

zu_103.gif

△BADと△CAFにおいて

弧AEに対する円周角の大きさは等しいので
∠ABD=∠ACF・・・①

△ABCは正三角形なので
AB=AC・・・②
∠BAC=∠ACB・・・③

BC//AFで錯角は等しいので
∠ACB=∠CAF・・・④

③、④より
∠BAC=∠ACB・・・⑤

①、②、⑤より
一辺とその両端の角が等しいので

△BAD≡△CAF

よって
AD=AF
となる。



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Author:ひかり理数科教室
静岡県沼津市で小学校高学年から中学生、高校生を対象とし、寺子屋形式個別指導での数学、理科を中心とした補習授業や受験指導を行っております。

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