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24年度公立入試問題解説(数学-17)

新学期が始まり、クラス替えなどがあった学校も多いかと思います。
新しいクラスはどのような感じでしょうか?

それでは、入試問題解説の入ります。


(問)
図6の立体は点Oを頂点とする四角すいである。この四角すいにおいて、底面の四角形ABCDは1辺の長さが6cmの正方形で、4つの側面はすべて正三角形である。この立体において点Eは辺OA上にありOE=4cmである。

zu_6.jpg

(1)は先日解説をしました。

(2)この立体において、BF=4cmとなる辺BC上の点をFとする。図8のように点Eから辺OB上を通って点Fまで、立体の側面に糸をかける。図9は図8の立体の展開図の一部を示したものである。
かける糸の長さが最も短くなるときの糸のようすを、図9に線でかきなさい。また、そのときの糸の長さを求めなさい。

zu_9.jpg

【解答】
点Eから辺OB上の点を通って点Fへの最短距離は、点Eから点Fへ引いた線分EFの長さになります。

zu_92.gif

よって、糸の様子は上の図のようになります。

また、線分EFの長さは以下のように求めます。

zu_94.gif

点E、点Aから辺OBへ引いた垂線と辺OBの交点をそれぞれ点G、点Hとします。
点Hは辺OBの中点となるので、OH=3cmとなります。
また、EG//AHとなるので、△OAHと△OEGは相似になります。
よって、

CodeCogsEqn (1)

CodeCogsEqn (2)

CodeCogsEqn (3)

CodeCogsEqn (4)

CodeCogsEqn (6)

となります。

また、

CodeCogsEqn (8)

CodeCogsEqn (9)

CodeCogsEqn (10)

CodeCogsEqn (11)

ここで直角三角形EGHに対して三平方の定理を使ってEHの長さを求めると

CodeCogsEqn (12)

CodeCogsEqn (14)

CodeCogsEqn (15)

CodeCogsEqn (16)

また、ここで、上の図は点Hに対して点対称となっているので、

CodeCogsEqn (17)

なので、

CodeCogsEqn (18)

となります。



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Author:ひかり理数科教室
静岡県沼津市で小学校高学年から中学生、高校生を対象とし、寺子屋形式個別指導での数学、理科を中心とした補習授業や受験指導を行っております。

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