24年度公立入試問題解説(数学-14)

今日は全国的に大荒れの天気です。沼津でもものすごい雨と風です。
これだけ雨風が強いと危険もあるので、外出は控えるようにしましょう。

それでは、今日の入試問題解説に入ります。
今日も昨日までの続きで、関数の最後の問題(図形との融合問題)です。

(問)
図5において①は関数 CodeCogsEqn (3) のグラフである。2点A、Bは放物線①上の点であり、点A、Bのx座標はそれぞれ-1、3である。このとき(1)~(3)の問いに答えなさい。

zu_5.jpg

(1)、(2)は昨日までに解説しました。

(3)点Pは放物線①上の点であり、そのx座標は3より大きいものとする。また、点Pを通り直線ABに平行な直線とy軸との交点をQとする。
点Qの座標が(0,10)で四角形ABPQが平行四辺形となるときの、aの値を求めなさい。

【POINT】
(1)平行四辺形の条件
四角形が、次の性質のどれかをもつと、平行四辺形となります。
・2組の向かいあう辺が、それぞれ平行である。
・1組の向かいあう辺が、長さが等しくて平行である。
・対角線が互いに他を2等分する。
・2組の向かいあう辺の長さが、それぞれ等しい。
・2組の向かいあう角が、それぞれ等しい。

(2)直線が平行な条件
2直線が平行な場合、その傾きの値は等しくなります。

【解答】
点Aのy座標は
CodeCogsEqn (19)

点Bのy座標は
CodeCogsEqn (20)

となります。

よって、点A、B、Qの座標は以下の図のようになります。

g_4.gif

そして、辺ABと辺QPが平行で同じ長さになるためには

g_5.gif

上の図のように、2つの直角三角形ABMとQPNを考え、
これらが合同となれば、辺ABと辺QPが平行で同じ長さとなります。
そのために点Pのx座標は、

CodeCogsEqn (27)

y座標は

CodeCogsEqn (28)

よって点Pの座標は

CodeCogsEqn (29)

となります。
この点は放物線①上の点なので、

CodeCogsEqn (23)

に代入することができます。
よって、

CodeCogsEqn (30)

CodeCogsEqn (31)

CodeCogsEqn (32)

CodeCogsEqn (33)

となります。


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Author:ひかり理数科教室
静岡県沼津市で小学校高学年から中学生、高校生を対象とし、寺子屋形式個別指導での数学、理科を中心とした補習授業や受験指導を行っております。

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