24年度公立入試問題解説(数学-8)

春休みなので、昨日は家族でお出かけをしました。
そのせいで、ブログをお休みしてしまいました。
申し訳ありません。

今日も数学の入試問題解説に入りたいと思います。

(問)
図2の容器は底面が半径6cmの円である円柱の形をしている。この容器は水平に置かれ、底面から10cmの高さまで水が入っている。この容器に図3のように半径3cmの鉄球を静かに沈めたところ、水面が上昇した。このときの底面から水面までの高さを求めなさい。ただし容器の厚さは考えないとする。

zu_2.jpg

【POINT】
(1)円柱の体積
円柱に限らず、柱体の体積は
底面積をS、高さをh、体積をVとすると

CodeCogsEqn (1)

となります。
特に円柱の場合は、底面の半径をrとすると、底面積Sは

CodeCogsEqn (2)

なので、体積Vは

CodeCogsEqn (3)

(2)球の体積
半径rの球の体積Vは

CodeCogsEqn (4)

となります。

柱体の体積と違って、球の体積はなぜこうなるのか、
直感的にわかりにくいかと思います。
その証明は中学生の数学の範囲を超えてしまうので、
ここでは、とりあえず、この公式を覚えるようにしておきましょう。

【解答】

水の中に鉄球を沈めたら、水面が上昇したので、
上昇した分の水の体積=球の体積となります。

まず球の体積は、

CodeCogsEqn (5)

CodeCogsEqn (6)

CodeCogsEqn (7)

となります。

また、上昇した分の水の体積は、
上昇した水面の高さをhとすると、

CodeCogsEqn (8)

CodeCogsEqn (10)

CodeCogsEqn (11)

となります。

ここで、

CodeCogsEqn (12)

となるので、

CodeCogsEqn (14)

CodeCogsEqn (15)

となります。

よって底面から水面の高さHは

CodeCogsEqn (16)

CodeCogsEqn (17)

となります。


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Author:ひかり理数科教室
静岡県沼津市で小学校高学年から中学生、高校生を対象とし、寺子屋形式個別指導での数学、理科を中心とした補習授業や受験指導を行っております。

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