絶対値の場合分け

問題
次の方程式を解きなさい。
|x| + |x-1| = x + 4

解答
i) x < 0の場合
与式の絶対値をはずすと
-(x) - (x - 1) = x + 4
となるので
-x - x + 1 = x + 4
-2x + 1 = x + 4
3x = -3
x = -1

これは x < 0 を満たすので、解として適切。

ii) 0<= x < 1 の場合
与式の絶対値をはずすと
(x) - (x - 1) = x + 4
となるので
x - x + 1 = x + 4
1 = x + 4
x = -3
これは 0<= x < 1を満たさないため解として不適切。

iii) 1<= x の場合
与式の絶対値をはずすと
(x) + (x - 1) = x + 4
となるので
x + x - 1 = x + 4
2x - 1 = x + 4
x = 5

これは 1<= x を満たすので、解として適切。
よって

x = -1 , 5
ポイントとなるのは、
(1)
|x| は
x >= 0 のとき x
x < 0 のとき -x

(2)
場合分けの範囲の境界は、絶対値の中身が0になる値。

絶対値の場合分けって結構難しい。

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Author:ひかり理数科教室
静岡県沼津市で小学校高学年から中学生、高校生を対象とし、寺子屋形式個別指導での数学、理科を中心とした補習授業や受験指導を行っております。

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