平成27年度公立高校入試解説(数学)

公立高校受験生のみなさん。
1日目の学力試験、お疲れ様でした。

取り急ぎ、数学の解答を作成しました。

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24年度公立入試問題解説(数学-19)

今日で、今年度の静岡県公立高校入試問題(数学)の解説は最後の問題です。


(問)
図10において、3点A、B、Cは円Oの円周上にあり、△ABCは正三角形である。AC上に点Dをとり、BDの延長と円Oとの交点をEとする。点Aを通りBCに平行な直線とCEの延長との交点をFとする。

zu_10.jpg

(1)は前回解説しました。詳しくはこちら

(2)2点D、Fを直線で結ぶ。∠DFE=28°で円Oの半径が5cmのとき弧AEの長さを求めなさい。ただし、円周率はπとする。

【POINT】
(1)おうぎ形の弧の長さ
半径rの円の一部で、中心角x°のおうぎ形の弧の長さは、

CodeCogsEqn (1)

となります。

(2)円周角と中心角
一つの孤に対する「円周角」の大きさは,「中心角」の半分になります。

zu11.gif

上の図の場合

CodeCogsEqn (2)

となります。

【解答】

zu112.gif

上の図で(1)より
AD=AF
∠CAF=∠ACB=60°
となるので、
△ADFは正三角形となります。
よって、
∠AFD=60°

ここで、△AFCを考えると、
三角形の内角の和は180°なので

∠FAC+∠AFC+∠FCA
=∠FAC+∠AFD+∠DFE+∠FCA
=60°+60°+28°+∠FCA=180°

よって、
∠FCA=32°

また、一つの弧に対する中心角は円周角の2倍なので、
∠AOE=64°

よって弧AEの長さは

CodeCogsEqn (3)

CodeCogsEqn (4)

となります。

これで、24年度静岡県公立高校入試問題(数学)の解説を終わります。

これまでの解説にご意見などがある場合は、コメントなどを下さい。
また、解説に誤りを見つけた場合も、ご意見をいただきたいと思います。


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24年度公立入試問題解説(数学-18)

今日はうちの息子(3歳)が、幼稚園の入園式でした。
我が家でも、今日から新学期なのだと身の引き締まる思いでした。

それでは入試問題解説に入ります。今回は平面図形の証明問題です。

(問)
図10において、3点A、B、Cは円Oの円周上にあり、△ABCは正三角形である。AC上に点Dをとり、BDの延長と円Oとの交点をEとする。点Aを通りBCに平行な直線とCEの延長との交点をFとする。

zu_10.jpg

(1)AD=AFであることを証明しなさい。

【POINT】三角形の合同条件
2つの三角形が合同となるためには、以下のどれかの条件にあてはまっていなければいけません。
(1)対応する3辺の長さがそれぞれ等しい。
(2)対応する2辺の長さとそのはさむ角の大きさが等しい。
(3)対応する1辺の長さとその両端の角の大きさが等しい。

【証明の道すじ】
証明問題というと、「いったい何を証明したらよいのか?」、「どうやって証明を書いたら良いのか?」など、色々考えてしまい、何も書けないという人が多いのではないでしょうか?

(1)何を証明すればよいのか?

今回の問題では、図10のAD=AFという、辺の長さが等しいことを証明しなくてはいけません。

「2つの三角形が合同なら、対応する辺の長さは等しくなる」
と考え、辺ADを含む三角形と辺AFを含む三角形が合同であることを証明すれば、AD=AFも証明されます。

そして、図10を見ると
辺ADを含む三角形の一つとして、△BADがあります。
辺AFを含む三角形の一つとして、△CAFがあります。
よって
△BAD≡△CAFを証明すれば、AD=AFが証明されます。

(2)どうやって証明を書いたらよいの?

まず証明を書く準備として、問題を読んで、長さの等しい辺、大きさの等しい角を見つけ、図に印をつけていきます。

証明に書く内容は、

1.証明したい2つの三角形を示す
(例)△BADと△CAFにおいて、など

2.等しい辺や角を式で表し、その理由と一緒に書く。
(例)AF//BCで錯角は等しいので、∠ACB=∠CAF、など

3.合同条件を書く。
4.結論を書く。

【証明】

zu_103.gif

△BADと△CAFにおいて

弧AEに対する円周角の大きさは等しいので
∠ABD=∠ACF・・・①

△ABCは正三角形なので
AB=AC・・・②
∠BAC=∠ACB・・・③

BC//AFで錯角は等しいので
∠ACB=∠CAF・・・④

③、④より
∠BAC=∠ACB・・・⑤

①、②、⑤より
一辺とその両端の角が等しいので

△BAD≡△CAF

よって
AD=AF
となる。



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24年度公立入試問題解説(数学-17)

新学期が始まり、クラス替えなどがあった学校も多いかと思います。
新しいクラスはどのような感じでしょうか?

それでは、入試問題解説の入ります。


(問)
図6の立体は点Oを頂点とする四角すいである。この四角すいにおいて、底面の四角形ABCDは1辺の長さが6cmの正方形で、4つの側面はすべて正三角形である。この立体において点Eは辺OA上にありOE=4cmである。

zu_6.jpg

(1)は先日解説をしました。

(2)この立体において、BF=4cmとなる辺BC上の点をFとする。図8のように点Eから辺OB上を通って点Fまで、立体の側面に糸をかける。図9は図8の立体の展開図の一部を示したものである。
かける糸の長さが最も短くなるときの糸のようすを、図9に線でかきなさい。また、そのときの糸の長さを求めなさい。

zu_9.jpg

【解答】
点Eから辺OB上の点を通って点Fへの最短距離は、点Eから点Fへ引いた線分EFの長さになります。

zu_92.gif

よって、糸の様子は上の図のようになります。

また、線分EFの長さは以下のように求めます。

zu_94.gif

点E、点Aから辺OBへ引いた垂線と辺OBの交点をそれぞれ点G、点Hとします。
点Hは辺OBの中点となるので、OH=3cmとなります。
また、EG//AHとなるので、△OAHと△OEGは相似になります。
よって、

CodeCogsEqn (1)

CodeCogsEqn (2)

CodeCogsEqn (3)

CodeCogsEqn (4)

CodeCogsEqn (6)

となります。

また、

CodeCogsEqn (8)

CodeCogsEqn (9)

CodeCogsEqn (10)

CodeCogsEqn (11)

ここで直角三角形EGHに対して三平方の定理を使ってEHの長さを求めると

CodeCogsEqn (12)

CodeCogsEqn (14)

CodeCogsEqn (15)

CodeCogsEqn (16)

また、ここで、上の図は点Hに対して点対称となっているので、

CodeCogsEqn (17)

なので、

CodeCogsEqn (18)

となります。



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24年度公立入試問題解説(数学-16)

沼津地区の高校も入学式、始業式を迎え、新学期が始まったところも多いようです。
高校ではどこの学校でも、春休みの課題テストがあるようですね。
みなさん、頑張ってください。

それでは、入試問題解説に入ります。

(問)
図6の立体は点Oを頂点とする四角すいである。この四角すいにおいて、底面の四角形ABCDは1辺の長さが6cmの正方形で、4つの側面はすべて正三角形である。この立体において点Eは辺OA上にありOE=4cmである。

zu_6.jpg

(1)点Pは点Aを出発し、毎秒1cmの速さで底面の正方形ABCDの辺上を、点B、Cを通って点Dまで移動する。

 は昨日解説しました。詳しくはこちら

 点Pが点Aを出発してからx秒後の△PDAの面積をycm3とする。
このとき、xとyの関係を表すグラフを、かきなさい。
ただしxの変域を0≦x≦18とする。

【解答】
△PDAの面積の変化は
(1)点Pが辺AB上にあるとき
(2)点Pが辺BC上にあるとき
(3)点Pが辺CD上にあるとき
の3パターンに分けることができます。

(1)のとき
xの変域は0≦x<6です。
△PDAの面積は

zu_65.gif
上の図から

CodeCogsEqn (4)

CodeCogsEqn (5)

となります。

(2)のとき
xの変域は6≦x<12です。
△PDAの面積は

zu_66.gif

上の図から、底辺、高さ、ともに一定なので、

CodeCogsEqn (6)

となります。

(3)のとき
xの変域は12≦x≦18です。

△PDAの面積は

zu_67.gif

上の図より

CodeCogsEqn (7)

CodeCogsEqn (8)

となります。

これら(1)~(3)をグラフの表すと、

g_666.jpg

となります。


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Author:ひかり理数科教室
静岡県沼津市で小学校高学年から中学生、高校生を対象とし、寺子屋形式個別指導での数学、理科を中心とした補習授業や受験指導を行っております。

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